Baris dan Deret Aritmatika

1. BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmatika
Nama lain : Barisan hitung
Definisi = Barisan yang dibentuk dengan cara menambah /mengurangi suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu (tetap)

Barisan aritmatika (BA) adalah suatu barisan bilangan yang beda (selisih) antara dua bilangan yang berurutan tetap (konstan).
-          Jika bedanya bernilai positif maka disebut barisan aritmatika naik.
-          Jika bedanya bernilai negatif maka disebut barisan aritmatika turun.


Contoh:
1. 1,3,5,7,9,11,…
2. 0,5,10,15,…
Lihat contoh no 1 :
1 adalah suku pertama/ U1 =a
U2-U1 =2 =beda/b
Un= suku ke n




U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n



2. DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b


Contoh:
Diketahui deret aritmatika: 3 + 6 +9 + 27 +……
Tentukan jumlah n suku pertamanya! Selanjutnya, tentukan nilai dari S10!
Jawab:
Dari deret aritmatika tersebut diketahui
a = 3, b = 6 – 3 = 3
maka

Sn = {2a + (n-1)b}
= {2.(3) + (n-1).(3)}
= {3+ 3n}


 Sifat-sifat Barisan Aritmatika

a)      Hubungan antara U_n dengan S_n
Perhatikan uraian berikut!
S_n =  a + (a +b) + (a + 2b) +……….+ {a + (n – 2)b)} + {a + (n – 1)b)}
S_n-1 =  a + (a +b) + (a + 2b) +……….+ {a + (n – 2)b)}
S_n – S_n-1 =  {a + (n -1)b)} = U_n
Jadi, diperoleh hubungan antara U_n dan S_n adalah
U_n = S_n – S_n-1

b)      Hubungan tiga bilangan berturutan
Jika x, y, dan z adalah tiga bilangan berurutan yang membentuk barisan aritmatika, maka akan berlaku ketentuan berikut.
“Dua kali bilangan yang di tengah sama dengan jumlah kedua bilangan tepinya.”
2y = x + z
Untuk membuktikan sifat ini, dimisalkan barisan aritmatika tersebut mempunyai beda b, sehingga
y = x + b             ……….   (i)
z = x + 2b           ……….   (ii)
Jika persamaan (i) dikalikan 2 kemudian dikurangi persamaan (ii), diperoleh
2y – z = x        2y = x + z
Dari sini, maka terbuktilah ketentuan tersebut.

c)       Hubungan empat bilangan berturutan
Jika w, x, y, dan z adalah empat bilangan berturutan yang membentuk barisan aritmatika, maka akan berlaku ketentuan berikut.
“jumlah dua bilangan yang terletak di tengah sama dengan jumlah dua bilangan yang terletak di tepi.”
x + y = w + z
Cobalah untuk membuktikan sifat ini!
Contoh:
Bilangan 2, x, y, dan z membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah x + y + z = 24. Tentukan nilai x, y, dan z!
Jawab:
Bilangan 2, x, y, dan z membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah x + y + z = 24, maka berlaku
x + y = w + z          Ṹ    x + y – z = w  …………………………………………(i)
x + y + z = 24  …………………………………………………………………(ii)
Jika persamaan (i) dikurangi persamaan (ii), maka diperoleh z = 11.
Misalkan barisan tersebut mempunyai beda b, maka
z – 2 = 3b  ……………………………………………………………………..(iii)
Dengan ,mensubstitusikan nilai z = 11 ke persamaan (iii), maka diperoleg b = 3. Sehingga diperoleh nilai dari x dan y berturut-turut adalah 5 dan 8.